Geoestadística con PyKrige: Variogramas e Interpolación Espacial

Aplicaciones de la geoestadística

Casi ningún fenómeno de la naturaleza se mide en todas partes. Se perfora un pozo aquí, se instala una estación meteorológica allá, se toma una muestra de suelo cada 200 metros. La pregunta práctica siempre es la misma: ¿qué valor hay en los lugares donde no medimos? La geoestadística responde esa pregunta y, a diferencia de otros interpoladores, también dice qué tan confiable es cada respuesta.

Una idea central: lo cercano se parece

La primera ley de la geografía, formulada por Waldo Tobler en 1970, dice que todo está relacionado con todo, pero las cosas cercanas están más relacionadas que las lejanas. La geoestadística convierte esa intuición en un modelo cuantitativo: el variograma, que mide cuánto difieren en promedio dos mediciones separadas por una distancia $h$:

$$\gamma(h) = \frac{1}{2}\,E\big[(Z(s) - Z(s+h))^2\big]$$

Si $\gamma(h)$ crece con la distancia y luego se estabiliza, los datos tienen estructura espacial aprovechable. Con ese modelo, el kriging calcula los pesos óptimos para combinar los datos vecinos y estimar cualquier punto.

De la minería al resto del mundo

La disciplina nació en la minería. A principios de los años cincuenta, el ingeniero sudafricano Danie Krige estudió cómo estimar la ley de oro de bloques de mina a partir de barrenos en Witwatersrand. En los años sesenta, Georges Matheron, en la Escuela de Minas de París, formalizó la teoría de las variables regionalizadas y bautizó el método como krigeage en honor a Krige. Desde entonces, la misma matemática se usa en muchos campos:

• Minería y petróleo: estimar la ley de mineral por bloque, la porosidad de un yacimiento o el espesor de una capa a partir de barrenos y pozos.
• Hidrogeología: mapear la profundidad del nivel freático o la concentración de nitratos en un acuífero con unas decenas de pozos de monitoreo.
• Ciencias ambientales: construir mapas de contaminación de suelos (metales pesados cerca de un río o de una zona industrial) y delimitar áreas que superan un umbral regulatorio.
• Meteorología y clima: interpolar precipitación o temperatura entre estaciones, muchas veces con la elevación como variable auxiliar.
• Agricultura de precisión: mapear nutrientes, pH o rendimiento dentro de una parcela para aplicar fertilizante solo donde hace falta.
• Salud pública y epidemiología: estimar exposición a contaminantes del aire en los domicilios de un estudio a partir de una red de monitores.

Por qué no basta con promediar vecinos

Un interpolador simple como la distancia inversa ponderada (IDW) asigna más peso a los puntos cercanos con una regla fija, por ejemplo $w_i \propto 1/d_i^2$. Funciona, pero tiene tres limitaciones que el kriging resuelve:

1. La regla de pesos no sale de los datos; el exponente se elige a mano.
2. Si varios puntos están agrupados, IDW les da mucho peso conjunto aunque aporten información redundante. El kriging reparte el peso entre ellos.
3. IDW no entrega una medida de incertidumbre. El kriging produce, junto con cada estimación, una varianza de kriging que crece lejos de los datos.

Un vistazo en Python

Con PyKrige, el flujo completo cabe en pocas líneas: se le dan coordenadas y valores, ajusta el variograma y estima una malla con su varianza.

import numpy as np
from pykrige.ok import OrdinaryKriging

rng = np.random.default_rng(42)
x = rng.uniform(0, 50, 60)          # coordenadas en km
y = rng.uniform(0, 50, 60)
z = 30 + 0.2 * x + rng.normal(0, 1, 60)  # profundidad del agua en m

ok = OrdinaryKriging(x, y, z, variogram_model="spherical")
malla = np.linspace(0, 50, 26)
z_est, varianza = ok.execute("grid", malla, malla)
print(z_est.shape, float(varianza.max()))

El resultado son dos matrices de 26 × 26: el mapa estimado y el mapa de varianza. Las dos importan. El segundo indica dónde conviene tomar la próxima muestra.

Trampas comunes

• Interpolar sin estructura espacial: si el variograma es plano (efecto pepita puro), el kriging devuelve casi la media en todas partes. Revisa el variograma antes de confiar en el mapa.
• Mezclar unidades: coordenadas en grados con distancias pensadas en kilómetros dan rangos sin sentido. Proyecta a un sistema métrico o usa el modo geográfico.
• Extrapolar: fuera de la nube de puntos, el kriging regresa a la media y la varianza se dispara. Ese mapa no es información nueva.
• Ignorar una tendencia: si el valor crece de forma sistemática en una dirección, el variograma experimental no se estabiliza. Ahí conviene el kriging universal.

Cierre

Antes de abrir el código, define el problema en términos espaciales: qué variable mides, en qué sistema de coordenadas, con qué densidad de muestreo y qué decisión depende del mapa. Esas cuatro respuestas determinan el variograma, el tipo de kriging y la validación que harás en el resto del curso.