Procesos Estocásticos Discretos: Simulación, Estados y Tiempos de Absorción con PyDTMC

1. En una cadena de Markov finita, ¿cuándo es recurrente una clase comunicante?

• Cuando es cerrada: ninguna transición sale de ella
• Cuando tiene más de un estado
• Cuando sus estados tienen periodo 1
• Cuando se visita con frecuencia al inicio de la simulación

En cadenas finitas, una clase es recurrente si y solo si es cerrada: ninguna transición sale de ella. Todas las clases que no son cerradas son transitorias.

2. ¿Qué define a un estado absorbente $i$?

• $p_{ii} = 1$
• $p_{ii} = 0$
• Su probabilidad estacionaria es la más alta
• Todos los demás estados son accesibles desde él

Un estado es absorbente si $p_{ii} = 1$: una vez que el proceso llega, ya no sale. Es el caso extremo de una clase cerrada con un solo estado.

3. Una cadena tiene un estado absorbente E y una clase cerrada {C, D} que alterna C → D → C. ¿Qué devuelve is_absorbing en PyDTMC?

• False, porque no todos los estados pueden llegar a un estado absorbente
• True, porque existe al menos un estado absorbente
• True, porque {C, D} también es absorbente
• Lanza un ValidationError por tener dos clases cerradas

Una cadena es absorbente solo si desde todos los estados se puede llegar a un estado absorbente. Quien cae en {C, D} queda atrapado sin llegar nunca a E, así que is_absorbing es False.

4. En la clase {C, D} con $p_{CD} = p_{DC} = 1$, ¿cuál es el periodo de sus estados?

• 2
• 1
• 0, porque no son aperiódicos
• No está definido porque la clase es cerrada

El proceso solo puede volver a C en 2, 4, 6… pasos, así que el máximo común divisor de esos tiempos de regreso es 2.

5. ¿Qué condiciones hacen que una cadena de Markov finita sea ergódica?

• Ser irreducible y aperiódica
• Tener al menos un estado absorbente
• Que todas las filas de $P$ sumen 1
• Que la matriz $P$ sea simétrica

Una cadena finita es ergódica si es irreducible (una sola clase comunicante) y aperiódica. Entonces tiene una única distribución estacionaria y converge a ella desde cualquier estado inicial.