Inferencia Bayesiana Aplicada: Modelos Lineales Mixtos con Bambi

1. Una prueba detecta una enfermedad con sensibilidad 0.99 y tasa de falsos positivos 0.05. La prevalencia es 0.01. Si la prueba da positivo, ¿cuál es aproximadamente $P(\text{enfermo} \mid +)$?

• 0.99
• 0.95
• 0.17
• 0.01

Por Bayes: $0.99 \cdot 0.01 / (0.99 \cdot 0.01 + 0.05 \cdot 0.99) = 0.0099 / 0.0594 \approx 0.17$. La baja prevalencia domina el resultado.

2. En $p(\theta \mid y) \propto p(y \mid \theta)\, p(\theta)$, ¿qué papel cumple la verosimilitud $p(y \mid \theta)$?

• Describe cómo se generan los datos para cada valor de $\theta$; como función de $\theta$ no necesita integrar 1
• Es la distribución de $\theta$ antes de ver los datos
• Es la constante de normalización que hace que el posterior integre 1
• Es la distribución de una observación nueva después de ver los datos

La verosimilitud es el modelo generador de los datos evaluado en los datos observados, vista como función de $\theta$. No es una densidad sobre $\theta$ y no tiene por qué integrar 1.

3. Con prior $\mu \sim \mathcal{N}(300, 50)$ y 18 tiempos de reacción del día 0 ($\sigma = 35$ conocida), el posterior de $\mu$ es $\mathcal{N}(250.64, 8.14)$. ¿Por qué el intervalo de la predictiva posterior (183.1 a 318.4 ms) es mucho más ancho que el de $\mu$?

• Porque usa el prior en lugar del posterior
• Porque se calculó con pocas muestras de Monte Carlo
• Porque el posterior conjugado subestima la incertidumbre
• Porque incluye la incertidumbre sobre $\mu$ más la variabilidad $\sigma$ de cada observación nueva

La predictiva posterior suma la incertidumbre sobre $\mu$ y el ruido $\sigma$ de una observación individual; el intervalo de $\mu$ solo refleja la primera.

4. Un análisis bayesiano reporta para un efecto un HDI al 94% de [8.2, 13.3]. ¿Cuál es la interpretación correcta?

• Si se repitiera el estudio muchas veces, el 94% de los intervalos contendría el valor verdadero
• Dado el modelo y los datos, el efecto está entre 8.2 y 13.3 con probabilidad 0.94
• El 94% de las observaciones individuales caerá entre 8.2 y 13.3
• El valor-p de la hipótesis nula es 0.06

El intervalo de credibilidad asigna probabilidad directamente al parámetro, condicionada al modelo y a los datos. La lectura de «repetir el experimento» corresponde al intervalo de confianza frecuentista.

5. ¿Por qué la aproximación por rejilla deja de ser práctica para un modelo de pendientes aleatorias con 41 parámetros, y qué hace NUTS en su lugar?

• Porque la rejilla no admite priors normales; NUTS solo funciona con priors conjugados
• Porque la rejilla requiere un compilador de C; NUTS calcula la evidencia $p(y)$ de forma exacta
• Porque el número de puntos crece exponencialmente con la dimensión; NUTS genera muestras del posterior guiado por el gradiente, sin calcular $p(y)$
• Porque la rejilla da intervalos de confianza; NUTS los convierte en intervalos de credibilidad

Con 100 puntos por eje se necesitarían $100^{41}$ evaluaciones. NUTS es un MCMC que usa el gradiente del log-posterior para explorar sin calcular la evidencia $p(y)$.