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Introducción a la estadística bayesiana con PyMC

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Conceptos Clave Bayesianos

Sección 1 · Fundamentos de la Estadística Bayesiana

Conceptos clave bayesianos

Todo modelo que escribas en PyMC se apoya en cuatro piezas: prior, verosimilitud, posterior y evidencia. Si entiendes qué hace cada una y cómo se combinan, leer y depurar un modelo deja de ser un acto de fe. Esta lectura fija el vocabulario que usarás en el resto del curso y lo aterriza con un ejemplo en numpy y scipy que puedes ejecutar en segundos.

Probabilidad como grado de creencia

En el enfoque bayesiano, la probabilidad mide cuánto crees en una afirmación dada la información disponible. Por eso tiene sentido decir "hay 90% de probabilidad de que la tasa de conversión esté entre 3% y 6%": el parámetro desconocido, que llamaremos $\theta$, se trata como una variable aleatoria con su propia distribución. Esa distribución resume tu incertidumbre, no una propiedad física del parámetro.

El teorema de Bayes, término por término

La regla que conecta creencias y datos es el teorema de Bayes:

$$p(\theta \mid y) = \frac{p(y \mid \theta)\, p(\theta)}{p(y)}$$
  • Prior $p(\theta)$: lo que sabes o supones del parámetro antes de ver los datos. Puede ser vago o informativo.
  • Verosimilitud $p(y \mid \theta)$: qué tan probables son los datos observados para cada valor de $\theta$. Como función de $\theta$ no es una distribución de probabilidad y no tiene por qué integrar a uno.
  • Posterior $p(\theta \mid y)$: tu creencia actualizada. Es el resultado de la inferencia y lo que PyMC aproxima con muestras.
  • Evidencia $p(y) = \int p(y \mid \theta)\, p(\theta)\, d\theta$: también llamada verosimilitud marginal o constante normalizadora. Garantiza que el posterior integre a uno.

Como la evidencia no depende de $\theta$, en la práctica se trabaja con la forma proporcional $p(\theta \mid y) \propto p(y \mid \theta)\, p(\theta)$. Esa integral casi nunca tiene solución cerrada, y justo por eso existen métodos como MCMC: permiten obtener muestras del posterior sin calcular $p(y)$.

Actualización secuencial

Una consecuencia directa del teorema es que el posterior de hoy puede servir como prior de mañana. Si procesas los datos en dos lotes, actualizar primero con el lote A y luego con el lote B produce el mismo posterior que usar ambos lotes de una vez, siempre que las observaciones sean independientes dado $\theta$. Así se modela el aprendizaje acumulativo sin rehacer el análisis desde cero.

Aplicación: tasa de conversión con Beta-Binomial

Supón un experimento con $n$ visitas y $k$ conversiones. Con prior $\text{Beta}(\alpha, \beta)$ y verosimilitud binomial, el posterior es otra Beta: $\text{Beta}(\alpha + k,\ \beta + n - k)$. Cuando prior y posterior pertenecen a la misma familia se dice que el prior es conjugado. El código compara la solución exacta con una aproximación por rejilla y verifica la actualización secuencial:

import numpy as np
from scipy import stats

a, b = 2, 2                      # prior Beta(2, 2)
k1, n1, k2, n2 = 12, 200, 9, 150 # dos lotes de datos
post = stats.beta(a + k1 + k2, b + (n1 - k1) + (n2 - k2))

a1, b1 = a + k1, b + n1 - k1     # posterior del lote 1 = prior del lote 2
seq = stats.beta(a1 + k2, b1 + n2 - k2)
print(post.mean(), seq.mean())   # identicos

grid = np.linspace(0, 1, 2001)
unnorm = stats.binom.pmf(k1 + k2, n1 + n2, grid) * stats.beta.pdf(grid, a, b)
grid_post = unnorm / unnorm.sum()  # normalizar sustituye a p(y)
print((grid * grid_post).sum(), post.interval(0.94))

La media por rejilla coincide con la exacta, y post.interval(0.94) devuelve un intervalo creíble de 94% de colas iguales. En PyMC y ArviZ verás con frecuencia el HDI (intervalo de mayor densidad), que es el intervalo más corto con esa masa de probabilidad.

Intervalo creíble frente a intervalo de confianza

Un intervalo creíble de 94% se lee de forma directa: dado el modelo y los datos, hay 94% de probabilidad de que $\theta$ esté en ese rango. Un intervalo de confianza de 95% no admite esa lectura: describe el procedimiento, que en repeticiones hipotéticas del experimento captura el valor verdadero 95% de las veces. El video de la siguiente lección profundiza en esta y otras diferencias con el enfoque frecuentista.

Trampas comunes

  • Confundir verosimilitud con posterior. $p(y \mid \theta)$ y $p(\theta \mid y)$ son objetos distintos; solo coinciden en forma cuando el prior es plano.
  • Olvidar normalizar en la rejilla. Sin dividir entre la suma, las "probabilidades" no suman uno y las medias salen escaladas.
  • Usar la misma información dos veces. En la actualización secuencial, cada dato entra una sola vez: o en el prior o en la verosimilitud.
  • Creer que el prior "sesga" siempre el resultado. Con muchos datos, la verosimilitud domina y priors razonables distintos convergen a posteriores parecidos.
  • Leer un intervalo creíble como si fuera de confianza, o al revés. Reporta cuál calculaste y con qué nivel.

Cierre

Prior por verosimilitud, normalizado por la evidencia: esa es toda la mecánica. Antes de pasar a PyMC, ejecuta el ejemplo con un prior $\text{Beta}(1, 1)$ y otro $\text{Beta}(20, 80)$, y observa cuánto cambia el posterior con 350 observaciones frente a 35.

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