Introducción a la estadística bayesiana con PyMC

Proyecto Final de Modelado Bayesiano

Este proyecto integra el curso completo en un análisis bayesiano de extremo a extremo. Construirás dos regresiones lineales bayesianas con PyMC sobre datos clínicos reales, verificarás que el muestreo sea confiable, comprobarás que cada modelo reproduce los datos y decidirás cuál predice mejor usando validación cruzada aproximada (LOO). El resultado no es un número, sino una distribución posterior bien diagnosticada y una conclusión justificada.

Objetivo

Estimar cómo se relacionan el índice de masa corporal, la presión arterial y un marcador sanguíneo con la progresión de la diabetes, cuantificando la incertidumbre de cada efecto. Compararás dos modelos:

• Modelo A: un predictor, bmi.
• Modelo B: tres predictores, bmi, bp y s5.

Ambos comparten la misma estructura, con predictores y respuesta estandarizados:

$$y_i \sim \mathcal{N}(\alpha + \mathbf{x}_i^\top \boldsymbol{\beta}, \sigma), \quad \alpha, \beta_j \sim \mathcal{N}(0, 1), \quad \sigma \sim \text{HalfNormal}(1)$$

Dataset

Usa sklearn.datasets.load_diabetes(as_frame=True). No requiere descarga. Contiene 442 pacientes y 10 variables: age, sex, bmi, bp y seis mediciones séricas, s1 a s6. La respuesta es una medida cuantitativa de la progresión de la enfermedad un año después de la medición inicial, con valores entre 25 y 346. Estandariza los predictores elegidos y la respuesta (media 0, desviación estándar 1) antes de modelar.

Entregables

• Notebook ejecutado (.ipynb) que corra de principio a fin sin errores, con todas las salidas visibles y random_seed fijo en cada llamada aleatoria.
• Reporte breve (una a dos páginas, puede ir en celdas de markdown al final del notebook) que responda las preguntas de la sección correspondiente.

Pasos requeridos

1. Carga y exploración: carga el dataset, selecciona bmi, bp y s5, revisa sus correlaciones con la respuesta y estandariza.
2. Especificación: define ambos modelos con pm.Model(coords=...), usa pm.Data para la matriz de diseño y dims para nombrar los coeficientes.
3. Prior predictive check: ejecuta pm.sample_prior_predictive y confirma que los priors generan respuestas en un rango plausible para datos estandarizados.
4. Muestreo: usa pm.sample con al menos 4 cadenas y random_seed fijo. En Windows sin compilador de C++, usa nuts_sampler="nutpie".
5. Diagnóstico: presenta az.summary con r_hat, ess_bulk y ess_tail, cuenta las divergencias en sample_stats e incluye az.plot_trace.
6. Posterior predictive check: genera réplicas con pm.sample_posterior_predictive y compáralas con los datos mediante az.plot_ppc.
7. Comparación: calcula el log-likelihood de cada modelo (pm.compute_log_likelihood) y compáralos con az.compare(..., ic="loo"). Revisa los valores de Pareto $k$ con az.loo.
8. Interpretación: reporta la media y el HDI del 94 % (hdi_3%, hdi_97%) de cada coeficiente del modelo elegido.

Preguntas que el reporte debe responder

• ¿Por qué los priors elegidos son débilmente informativos en la escala estandarizada? ¿Qué mostró el prior predictive check?
• ¿Convergieron ambos modelos? Cita los valores de r_hat, ESS y el número de divergencias.
• ¿El posterior predictivo reproduce la forma de la distribución observada? ¿Dónde falla, si falla?
• ¿Qué modelo tiene mayor elpd_loo? ¿La diferencia es grande en relación con dse?
• ¿Cuál de los tres predictores tiene el efecto más fuerte? ¿Algún HDI incluye el cero?
• ¿Qué significa, en términos del problema, un aumento de una desviación estándar en bmi?

Criterios de evaluación

• Especificación del modelo (20 %): priors justificados, HalfNormal para sigma, likelihood conectada a los datos con observed y dimensiones con nombre.
• Verificación de priors (10 %): prior predictive check presente y comentado.
• Diagnóstico de convergencia (20 %): r_hat ≤ 1.01, ESS suficiente, cero divergencias o un plan explícito para corregirlas.
• Validación (20 %): PPC comentado y comparación con LOO interpretada con elpd_diff, dse y Pareto $k$.
• Interpretación (20 %): conclusiones con HDI expresadas en el lenguaje del problema, sin confundirlas con intervalos de confianza.
• Reproducibilidad y claridad (10 %): semillas fijas, notebook que corre de principio a fin y reporte legible.

Extensiones opcionales

• Likelihood robusta: sustituye la pm.Normal del modelo B por pm.StudentT con un prior para los grados de libertad nu, y compárala con LOO frente a la versión normal.
• Más predictores: agrega age, sex o las demás mediciones séricas y observa si el elpd_loo mejora o si solo crece p_loo.
• Sensibilidad a priors: repite el ajuste con $\beta_j \sim \mathcal{N}(0, 0.5)$ y $\mathcal{N}(0, 5)$ y documenta cuánto cambia el posterior.
• Predicción: usa pm.set_data para predecir la progresión de pacientes hipotéticos y reporta intervalos predictivos, no solo la media.

Recomendaciones

Construye primero el modelo A completo, de los datos a la interpretación, y después generaliza al modelo B. No escribas conclusiones si el diagnóstico falla: un r_hat alto o las divergencias invalidan cualquier HDI. Y trata el reporte como parte del modelo: justificar cada decisión pesa tanto como el código que la implementa.