Introducción a la estadística bayesiana con PyMC

1. En el teorema de Bayes $p(\theta \mid y) = \frac{p(y \mid \theta)\, p(\theta)}{p(y)}$, ¿qué papel cumple $p(y)$?

• Es el prior sobre los datos antes de observarlos.
• Es la evidencia: una constante normalizadora que no depende de $\theta$.
• Es la verosimilitud evaluada en el valor más probable de $\theta$.
• Es el posterior marginal de los datos después de la inferencia.

$p(y)$ es la evidencia o verosimilitud marginal: no depende de $\theta$ y solo normaliza el posterior para que integre a uno.

2. Con prior $\text{Beta}(2, 2)$ y 7 éxitos en 10 ensayos binomiales, ¿cuál es el posterior?

• $\text{Beta}(7, 3)$
• $\text{Beta}(2, 2)$, porque el prior no cambia con los datos.
• $\text{Beta}(9, 5)$
• $\text{Beta}(12, 12)$

La Beta es conjugada de la Binomial: el posterior es $\text{Beta}(\alpha + k, \beta + n - k) = \text{Beta}(9, 5)$.

3. ¿Cuál es la interpretación correcta de un intervalo creíble bayesiano de 94% para $\theta$?

• Dado el modelo y los datos, hay 94% de probabilidad de que $\theta$ esté en el intervalo.
• Si se repitiera el experimento muchas veces, 94% de los intervalos contendrían el valor verdadero.
• El 94% de los datos observados cae dentro del intervalo.
• La probabilidad de rechazar la hipótesis nula es 6%.

El intervalo creíble es una afirmación de probabilidad sobre el parámetro dados el modelo y los datos; la lectura por repeticiones corresponde al intervalo de confianza.

4. ¿Qué distingue al enfoque bayesiano del frecuentista respecto al parámetro desconocido $\theta$?

• El bayesiano asume que $\theta$ es fijo y conocido de antemano.
• El frecuentista asigna a $\theta$ una distribución prior y otra posterior.
• Ambos tratan a $\theta$ igual; solo cambia el software.
• El bayesiano trata a $\theta$ como variable aleatoria con distribución; el frecuentista, como un valor fijo desconocido.

El frecuentista trata a $\theta$ como fijo y la aleatoriedad vive en los datos; el bayesiano describe su incertidumbre sobre $\theta$ con una distribución.

5. Se analizan datos en dos lotes independientes dado $\theta$: primero se actualiza con el lote A y el posterior resultante se usa como prior para el lote B. ¿Qué se obtiene?

• Un posterior más estrecho de lo debido, porque los datos se cuentan dos veces.
• El mismo posterior que usar los lotes A y B juntos desde el prior original.
• Un posterior que solo refleja el lote B.
• Un resultado inválido: el posterior no puede usarse como prior.

Con observaciones condicionalmente independientes, la actualización secuencial da el mismo posterior que procesar todos los datos juntos.