Introducción a la estadística bayesiana con PyMC

1. En el proyecto, el posterior de beta[bmi] tiene hdi_3% = 0.30 y hdi_97% = 0.45. ¿Cuál es la interpretación bayesiana correcta?

• Si se repitiera el estudio muchas veces, el 94 % de los intervalos calculados contendría el valor real.
• Dado el modelo y los datos, hay una probabilidad de 0.94 de que beta[bmi] esté entre 0.30 y 0.45.
• El 94 % de los pacientes tiene un bmi estandarizado entre 0.30 y 0.45.
• El p-valor de beta[bmi] es menor a 0.06, por lo que el efecto es significativo.

El HDI es un intervalo de credibilidad: dado el modelo y los datos, el parámetro está dentro con probabilidad posterior de 0.94. No es una afirmación sobre repeticiones del experimento.

2. Con X e y estandarizados, se eligen los priors beta ~ Normal(0, 1) y sigma ~ HalfNormal(1). ¿Por qué se usa HalfNormal para sigma?

• Porque HalfNormal es conjugado con la likelihood normal y evita el muestreo MCMC.
• Porque obliga a que sigma sea exactamente 1 cuando y está estandarizada.
• Porque sigma debe ser positiva y HalfNormal restringe su soporte a valores mayores que cero.
• Porque PyMC no permite usar pm.Normal para parámetros de escala.

sigma es una desviación estándar y debe ser positiva; HalfNormal solo asigna probabilidad a valores mayores que cero, con escala acorde a y estandarizada.

3. En PyMC 5, ¿qué hace declarar coords={"predictor": ["bmi", "bp", "s5"]} y beta = pm.Normal("beta", 0, 1, dims="predictor")?

• Crea tres coeficientes independientes etiquetados, que az.summary reporta como beta[bmi], beta[bp] y beta[s5].
• Crea un único coeficiente compartido por los tres predictores.
• Selecciona automáticamente las columnas bmi, bp y s5 del DataFrame.
• Aplica un prior jerárquico que agrupa los coeficientes por predictor.

dims crea un vector de tres coeficientes etiquetados con los nombres de coords, que aparecen en az.summary como beta[bmi], beta[bp] y beta[s5].

4. Tras pm.sample, az.summary muestra r_hat = 1.06 para beta[s5] y el muestreo reporta 25 divergencias. ¿Qué corresponde hacer?

• Reportar el HDI de beta[s5], porque r_hat menor a 1.1 siempre es aceptable.
• Ignorar las divergencias, ya que solo afectan la velocidad del muestreo.
• Pasar directo a az.compare, que corrige los problemas de convergencia.
• No interpretar el posterior: revisar la parametrización o los priors, aumentar tune o target_accept y volver a muestrear.

Un r_hat mayor a 1.01 y las divergencias indican que las cadenas no convergieron o que el sampler no exploró bien el posterior; hay que corregir antes de interpretar.

5. az.compare con ic="loo" devuelve para el modelo A (solo bmi) elpd_diff = 49 y dse = 9 respecto al modelo B (bmi, bp, s5). ¿Qué se concluye?

• El modelo A predice mejor porque tiene un elpd_diff mayor.
• El modelo B predice mejor fuera de muestra, y la diferencia es grande frente a su error estándar.
• Los modelos son equivalentes, porque LOO siempre favorece al modelo con más parámetros.
• No se puede concluir nada sin calcular antes un p-valor para cada coeficiente.

El modelo B tiene rango 0 y una diferencia de elpd unas cinco veces mayor que su error estándar, así que su mejor capacidad predictiva fuera de muestra es clara.